Юрій Махіня народився 1 січня 1961 року.

Юрій Олександрович захищав кольори буковинської команди у 1988-1989,1991-1992 роках (123 гри, 4 голи). У складі «Буковини» Юрій Махіня став переможцем другої ліги чемпіонату СРСР (6 зона) - 88 та срібним призером другої ліги чемпіонату СРСР (6 зона) - 89. У 1991 році досвідчений захисник допоміг чернівецькій команді посісти 5-е місце у першоліговому чемпіонаті СРСР. Перший чемпіонат Незалежної України гравець також провів у «Буковині».

Першою професійною командою Юрія Махіні був полтавський «Колос», а у 1980-1984 роках захисник був у складі київського «Динамо». Щоправда, в основі титулованої команди гравець провів лише 6 матчів.

У 1985-1987 роках Юрій Махіня грав у основі команди вищої ліги «Металіст» (Харків). За харківський колектив футболіст в усіх змаганнях провів 89 матчів (1 гол). У 1987 році у складі «Металіста» Юрій Олександрович став фіналістом Кубку Федерації, а також грав у переможному для харківської команди Кубку СРСР - 1987/88.

Юрій Махіня також грав у командах «Таврія» (Сімферополь) - перша половина сезону-88, «Хемлон» (Гуменне, Словаччина) - 1990 рік. Завершив захисник виступи на футбольному полі у колективі вищої ліги чемпіонату України «Кремінь» (Кременчук).