Борис дебютував у «Буковині» у 1986 році. Тоді чернівецьку команду тренував Борис Розсихін. Борис Фінкель виступав на позиції правого захисника та встиг зіграти у друголіговому союзному чемпіонаті СРСР 14 матчів.

Потім буковинський футболіст пішов у армію та виступав за команду «Зірка» (Бердичів). Пограв Борис і за команду «Зоря» (Бєльці), аматорські колективи, а наприкінці сезону – 90 повернувся у «Буковину» та грав вже у нападі. За рідну команду футболіст виступав до літа 1994 року (з перервою, сезон-91 провів у дрогобицькій «Галичині») та провів 98 матчів, у яких забив 25 голів. Борис став кращим бомбардиром «Буковини» у двох сезонах поспіль (1992/93,1993/94).